안녕하세요. 일주일 만에 글을 쓰게 되네요. 상반기 서류 지원하느라 늦었습니다 ㅎㅎ; 다음주나 다다음주에도 같은 이유로 며칠 쉴 수도 있을 것 같네요. 그렇게 되면 다시 공지에 남기겠습니다.
마침 증기표도 찾아서 글을 쓸 수 있게 되었네요. 그럼 이제 본론으로 들어가 봅시다.
5.1. 포화상태의 성질
포화증기표를 참고하는 목적은 포화상태에서 물성치값을 알기 위해서입니다. 문제에서 주로 다루는 포화 상태는 물질이 액체 상태에서 기체 상태를 변화할 때입니다. 따라서 포화상태일 땐, 물질의 액체와 기체 상태가 공존하게 됩니다.
물질이 어느 정도 기화가 되었는지에 따라 비체적, 엔탈피, 엔트로피, 내부에너지 값이 달라지게 됩니다. 그렇다면 바로 이 "어느 정도 기화가 되었는지"에 해당하는 것이 건도입니다.
건도의 사전적 의미는 전체 질량에 대한 포화증기 질량의 비입니다. 일반적으로 열역학에서 건도의 문자는 $x$를 사용합니다. 수식으로 표현하면 (\ref{1})과 같이 나타낼 수 있겠죠.
$$ x = \frac{m_{g}}{m} \label{1}\tag{1}$$
예를 들어 포화상태에서 비체적을 구해봅시다. 비체적은 단위 질량당 체적입니다. 필요한 값으로 질량과 체적이 있네요. 총 체적과 총질량은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. (아랫첨자 $g$는 기체를, $f$는 액체를 의미합니다.)
$$ V = V_{f} + V_{g} \label{2}\tag{2} $$
$$ m = m_{f} + m_{g} \label{3}\tag{3} $$
비체적의 정의에 따라 (\ref{4})와 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ v = \frac{V}{m} = \frac{V_{f}+V_{g}}{m} \label{4}\tag{4} $$
체적을 비체적과 질량으로 (\ref{5})와 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ V_{f} = m_{f}v_{f} \quad V_{g} = m_{g}v_{g} \label{5}\tag{5}$$
(\ref{5})를 (\ref{4})에 대입하면 (\ref{6})가 유도됩니다.
$$ v = \frac{m_{f}}{m}v_{f} + \frac{m_{g}}{m}v_{g} \label{6}\tag{6} $$
(\ref{1}),(\ref{3}),(\ref{6})을 통해 (\ref{7})로 결론낼 수 있습니다.
$$ v = (1-x)v_{f} + xv_{g} \label{7}\tag{7} $$
건도는 결국 총 질량 중 기체가 차지하는 질량의 비율입니다. $x$에 100을 곱하면 백분율이 나오겠지요. 예를 들어 건도 $x$가 $0.3$이라면, 이 포화 기체에서 기체의 질량이 $30\%$가 있다는 말과 같습니다. 앞으로 저는 편의상 이를 "건도비"라 부르고 문자는 $X$로 표기하겠습니다.
$$ X = 100 \times x \; (\%)$$
비체적뿐만 아니라, 포화증기표/과열증기표/압축액표에서 구할 수 있는 강성적 성질 값(내부에너지, 엔탈피, 엔트로피)은 모두 동일하게 구할 수 있습니다.
사견 1) 물성치값들은 강성적(단위 질량당 값을 말합니다)으로 주어져있습니다. 따라서 문제에서 "총"물리량을 묻는다면 질량을 곱해주어야 하는 점 유의해주세요.
사견 2) "건도비"는 진짜 순수하게 제가 편의상 정의한 단어기 때문에 실제 서술형 시험에서는 쓰지 않는 걸 추천드려요.
사견 3) 저는 쉽게 이해하기 위해서 건도비을 "기화가 진행된 정도"로 이해하였습니다. 예를 들어 건도비가 본문의 $30\%$였다면, 기화가 $30\%$ 진행하였다고 생각했습니다.
열기관이나 냉동기에서 주로 사용하는 작동 유체인 물과 냉매(R-134a)의 물성표를 참고해 봅시다.
5.2. 포화증기표
거의 대부분의 열역학 문제에서 사용할 표입니다. 포화상태에서 온도와 압력은 서로 종속적인 관계입니다. 이 말은 바꿔 말하자면 온도를 알면 압력을 알고, 압력을 알면 온도를 알 수 있다는 의미입니다. 아래 [그림 1]을 참고해 봅시다.
예를 들어 포화수증기의 온도가 $50^{\circ}\mathrm{C}$인 경우를 생각해 봅시다. [그림 1]을 참고하면 그에 대응되는 포화 압력 $p = 12.349 (\mathrm{kPa})$임을 확인할 수 있네요.
표를 참고하여 값을 얻기 위해 저희가 필요한 정보가 하나 더 있습니다. 바로 건도입니다. 표에서 제시된 정보는 포화상태로 진입한 상태인 포화액(건도가 0)에 대응되는 값과 완전히 기화가 이루어져 포화상태가 끝난 상태인 포화증기(건도가 1)에 대응되는 값만이 주어져있기 때문입니다.
같은 온도에서 건도가 $0.7$인 경우의 각 물성치를 계산해 봅시다. 임의의 강성적 성질을 $a$라고 하면, (\ref{7})을 일반화하면 (\ref{8})으로 쓸 수 있습니다.
$$ a = (1-x)a_{f} + xa_{g}, \quad a = \{v, u, h, s\} \label{8}\tag{8} $$
표에서 제시된 $a_{fg}$는 포화증기와 포화액 강성적 성질 차를 의미합니다. 식으로 쓰면 (\ref{9})와 같습니다.
$$ a_{fg} = a_{g} - a_{f} \label{9}\tag{9} $$
(\ref{8}),(\ref{9})를 조합하면 (\ref{10})을 유도할 수 있습니다.
$$ a_{x} = a_{f} + xa_{fg} \label{10}\tag{10} $$
만약 $a_{fg}$가 제시되지 않은 표를 가지고 계신다면 직접 (\ref{9})를 이용하여 구하시거나, 바로 (\ref{8})을 사용하시면 됩니다.
저는 사용하기 가장 편한 (\ref{10})을 선호합니다. 식 자체를 이해하기도 쉽습니다. 건도 $x$에서 물성치 값은 포화액 값$a_{f}$에서 $X(\%)$만큼 기화가 진행되었으니 $xa_{fg}$를 더한 값이니까요. 예시를 들어서 한 번 더 설명해 볼게요.
Ex 5.1)
온도 $70^{\circ}\mathrm{C}$, 건도 $0.7$인 포화수증기의 포화 압력, 비체적, 내부 에너지, 엔탈피, 엔트로피를 구하라.
표를 참고하면 바로 포화 압력 $p = 31.19 (\mathrm{kPa})$임을 알 수 있습니다. 각각의 값을 (\ref{10})을 이용하여 구해봅시다.
1) 비체적
$$ v = v_{f} + xv_{fg} = 0.0010232+0.7 \times (5.042-0.001023) = 3.530 \; (\mathrm{m^3/kg}) $$
표에서 $v_{fg}$ 값이 제시되어 있지 않기 때문에, (\ref{9})를 이용하였습니다.
2) 내부 에너지
$$ u = u_{f} + xu_{fg} = 292.95+0.7 \times 2176.6 = 1816.57 \; (\mathrm{kJ/kg}) $$
3) 엔탈피
$$ h = h_{f} + xh_{fg} = 292.98 +0.7 \times 2333.8 = 1926.64 \; (\mathrm{kJ/kg}) $$
4) 엔트로피
$$ s = s_{f} + xs_{fg} = 0.9549 +0.7 \times 6.8004 = 5.7152 \; (\mathrm{kJ/kg\cdot K}) $$
5.3. 보간법
표에 제시된 온도라면 이제 쉽게 비체적, 내부 에너지, 엔탈피, 엔트로피를 구할 수 있습니다. 하지만 세상이 $5^{\circ}\mathrm{C}$의 배수인 온도만 주어질리는 없죠. $37^{\circ}\mathrm{C}$나 $137^{\circ}\mathrm{C}$같은 온도를 내는 것도 출제자 마음입니다. 온도뿐만 아니라 포화 압력이 $10(\mathrm{kPa})$으로 주어진 경우에서 값을 구해야 할 수 있습니다. 이 경우 [그림 1] 표를 참고하면 $45^{\circ}\mathrm{C}$와 $50^{\circ}\mathrm{C}$ 사이에서 포화 온도가 있겠네요. 이런 경우 우리는 보간법을 사용해서 문제를 해결해야 합니다.
표에서 제시된 온도 $T_{1}$, $T_{2}$에서 $T$가 열린구간 ($T_{1}$,$T_{2}$)내 임의의 온도라고 가정합시다. $T$, $T_{1}$, $T_{2}$에 대응되는 강성적 성질 값들은 각각 $a$, $a_{1}$, $a_{2}$라고 합시다. 이때 우리가 원하는 값은 $a$이고, (\ref{11})을 통해 구할 수 있습니다.
$$ a = a_{1} + (a_{2} - a_{1})\times \frac{T-T_{1}}{T_{2}-T_{1}} \label{11}\tag{11}$$
(\ref{11})를 유도하면서 사용한 기법이 보간법입니다. 공식만 그냥 암기하실 목적이거나 귀찮으면 아래 (\ref{11})을 이해하는 과정을 넘기셔도 무방합니다. 추가 설명은 아래 접은 글을 참고해 주세요.
물론 (\ref{11})에서 온도가 아닌 압력을 대입하여도 무방합니다. 주어진 정보가 포화 압력이라면 압력을 이용하여 계산해야겠지요. 압력으로 나타내면 (\ref{12})와 같습니다.
$$ a = a_{1} + (a_{2} - a_{1})\times \frac{p-p_{1}}{p_{2}-p_{1}} \label{12}\tag{12}$$
물론 이해를 기반으로 식을 알면 기억하기도 쉽습니다. 과목 공부하는 맛도 나니까 제가 수학과 과학을 좋아하는 이유입니다. 이제 본론으로 들어가 봅시다.
보간법은 기존에 알고 있는 특정 지점의 대응값을 이용하여 알고자 하는 지점의 대응값을 찾아내는 방법입니다. "특정 지점에 대응하는"이라는 말은 곧 함수로 나타낼 수 있다는 것을 의미합니다. 포화증기표에서 온도나 압력이 증가할수록 강성적 성질들의 값 또한 증가하므로 함수는 증가함수입니다. 함숫값은 간단하게 비례하여 증가하는 것으로 가정합시다.
저희가 궁금한 값은 $f(c)$입니다. 본문의 예시를 들자면 $x$축은 온도가 될 것이고, 함수는 각종 강성적 성질이 되겠네요. 함숫값은 비례하여 증가하므로 함수 그래프 형태는 직선 모양을 띠게 됩니다.
직선의 결정 조건 중 하나는 두 점을 지나는 직선입니다. [그림 2]에선 점 $f(a)$와 점 $f(b)$가 존재하니까, 이 두 점을 지나는 직선을 결정할 수 있습니다. 직선은 일차 함수로 나타낼 수 있고, 일차 함수에서 중요한 두 가지는 기울기와 직선 위의 한 점입니다. 두 점을 알고 있으므로 기울기는 쉽게 구할 수 있고, 한 점은 A를 사용하여 직선의 함수를 만들어봅시다.
$$ y = f(A) + \frac{f(B)-f(A)}{B-A}(x-A) $$
우리가 원하는 값인 f(C)를 얻기 위해서는 $x = C$를 대입하면 됩니다.
$$ f(C) = f(A) + \frac{f(B)-f(A)}{B-A}(C-A) $$
곱셈은 교환법칙이 적용되니까, 바꿔 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있겠죠.
$$ f(C) = f(A) + \frac{C-A}{B-A}(f(B)-f(A)) $$
각각의 대응되는 값을 넣어봅시다. $f(C) = a$, $f(A) = a_{1}$, $f(B) = a_{2}$, $C = T$, $A = T_{1}$, $B = T_{2}$를 대입하면 (\ref{11})과 같은 형태가 나오게 되었네요. 압력을 대입하면 (\ref{12})가 나오게 됩니다.
구어적 설명을 살짝 섞어서 설명해 보겠습니다. 이쪽 설명이 이해가 가지 않는다면 그냥 넘겨주세요.
식을 다시 확인해 봅시다.
$$ f(C) = f(A) + \frac{C-A}{B-A}(f(B)-f(A)) $$
$f(A)$를 기준으로 하겠습니다. 본문의 경우 포화액의 지점이겠네요. 구하는 값은 아무튼 $f(A)$와 $f(B)$ 사이에 존재합니다(물리량은 연속적으로 변화하니까요). $(f(B)-f(A))$은 간단하게 말하면 $y$축 총변화량입니다. 이제 총변화량에서 몇 퍼센트 정도 증가할지 구해야겠죠. 그 "몇 퍼센트"에 해당하는 부분이 $\frac{C-A}{B-A}$입니다. $x$축 총 변화량 $B-A$대비 $C$가 위치한 $C-A$만큼 변화하는 양으로 비율을 구할 수 있습니다(그게 직선의 기울기고요).
비례하는 일차함수니까, $f(C)$로의 $y$축 변화량은 C로의 $x$축 변화량에 기울기(비율)를 곱하면 구할 수 있습니다. 이제 여기서 구한 값을 첫 기준점인 $f(A)$에 더하면 $f(C)$를 구할 수 있겠죠. 그걸 수식화 한 것이 위 식입니다.
예제를 풀어봅시다.
Ex 5.2)
온도 $12^{\circ}\mathrm{C}$, 건도 $0.35$인 포화수증기의 내부 에너지를 구하라.
[그림 1]의 표의 온도 눈금은 $5^{\circ}\mathrm{C}$이므로, $10^{\circ}\mathrm{C}$와 $15^{\circ}\mathrm{C}$의 정보를 기반으로 보간법을 사용하여 값을 도출해야 합니다. (\ref{11})을 이용하여 먼저 $12^{\circ}\mathrm{C}$의 포화액과 포화증기 상태에서 내부 에너지를 구해봅시다.
$10^{\circ}\mathrm{C}$에서 $u_{f} = 42.00(\mathrm{kJ/kg})$, $u_{g} = 2389.2 (\mathrm{kJ/kg})$이고,
$15^{\circ}\mathrm{C}$에서 $u_{f} = 62.99(\mathrm{kJ/kg})$, $u_{g} = 2396.1(\mathrm{kJ/kg})$입니다.
1) $12^{\circ}\mathrm{C}$ 포화액 내부 에너지
$$ u_{f} = 42.00 + (62.99-42.00)\times \frac{12-10}{15-10} = 50.40 \; (\mathrm{kJ/kg}) $$
2) $12^{\circ}\mathrm{C}$ 포화증기 내부 에너지
$$ u_{g} = 2389.2 + (2396.1-2389.2)\times \frac{12-10}{15-10} = 2391.96 \; (\mathrm{kJ/kg}) $$
이제 1)과 2)에서 구한 $u_{f}$과 $u_{g}$를 토대로 내부 에너지를 구해봅시다.
3) $12^{\circ}\mathrm{C}$, 건도 $0.35$ 포화수증기 내부 에너지
$$ u = 50.40 + 0.35 \times (2391.96 - 50.40) = 869.95 \; (\mathrm{kJ/kg}) $$
압력의 경우도 동일한 원리로 푸시면 됩니다.
사견 4) 주의하실 점으로 반드시 보간법을 사용하여 주어진 온도/압력에 따른 포화액과 포화증기상태의 강성적 성질값을 계산하고 건도를 이용하여 문제를 푸셔야합니다. 순서 반대로 하면 틀려요! 보간법을 쓸땐 사용해야하는 정보도 많아서 헷갈리기 쉬워요. 예제를 풀었을 때처럼 보간법 사용 전 기준 온도들의 포화액과 포화증기에 대응되는 강성적 성질을 적고 푸시는 것이 편할 거예요.
분량이 길어져서 과열증기표와 압축액표 보는 방법은 다음 포스팅에서 다뤄야 할 거 같아요. 사실 보는 법은 거의 동일하고, 유념할 점 몇 가지 추가되는 정도이긴 합니다. 다음 포스팅에서 뵐게요.
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