18. 디랙 델타 함수

 Dirac delta function이 어떤 함수인지를 알기 전에, 다음과 같은 함수를 정의합시다.

$f_k(t-a) = \begin {cases} \frac {1}{k} & (a \leq t \leq a+k) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$     (1)

 (1)의 함수 $f_k(t-a)$의 0부터 $\infty$까지의 정적분 값을 $l_k$라 하고 이 값을 구해보도록 하겠습니다.

$l_k = \int_{0}^{\infty} f_k(t-a)dt = \int_{a}^{a+k} \frac {1}{k} dt = 1$      (2)

 공학에서 시간 구간 $a \leq t \leq a+k$ 에서 힘의 적분 값을 Impulse(충격량)라고 합니다. 즉 (2)에서 $l_k$는 $f_k(t-a)$라는 힘이 $a \leq t \leq a+k$의 시간 동안의 Impulse라고 해석 할 수 있겠습니다.

포스팅의 주제인 Dirac delta function은 (1)의 $f_k(t-a)$을 통해 다음과 같이 씁니다.

$\delta(t-a) = \lim_{k \rightarrow \infty} f_k(t-a)$     (3)

 Dirac delta function을 (1)과 같이 나타내면 다음과 같습니다.

$\delta(t-a) = \begin{cases} \infty & (t = a) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$     (4)

 적분 값은 (2)의 결과와 같습니다.

$\int_{0}^{\infty} \delta(t-a)dt = 1$     (5)

 Dirac delta function의 Laplace transform을 구해봅시다. 먼저 Unit step function을 이용해 $f_k$를 나타냅니다.

$f_k(t-a) = \frac{1}{k}[u(t-a) - u(t - (a+k))]$     (6)

 (6)에서 구한 $f_k$를 이제 Laplace transform 합니다.

$L(f_k(t-a)) = \frac{1}{ks}[e^{-as} - e^{-(a+k) s}] = \frac {e^{-as}(1-e^{-ks})}{ks}$     (7)

 (7)의 결과를 $k \rightarrow 0$한 값이 Dirac delta function입니다. 극한을 취해봅니다.

$\lim_{k \rightarrow 0} \frac {e^{-as}(1-e^{-ks})}{ks} = \lim_{k \rightarrow 0} \frac {e^{-as}\cdot se^{-ks}}{s} = e^{-as}$     (8)

 (8)의 과정은 L'hopital's theorem으로 구할 수 있습니다. (8)로부터 Dirac delta function의 Laplace transform은 다음과 같음을 알 수 있습니다.

 $L(\delta(t-a)) = e^{-as}$     (9)

 

 예제를 통해 Dirac delta function이 있는 미분 방정식을 풀어 봅시다.

 

Ex) $y'' + 3y' + 2y = \delta(t-1)$,      $y(0) = 0$,     $y'(0) = 0$

 먼저 주어진 미분 방정식을 Laplace transform 합니다. (9)와 주어진 Initial condition을 활용합니다.

$s^2Y + 3sY + 2Y = e^{-s}$     (10)

 (10)을 $Y$에 대하여 정리합니다.

$Y = \frac {e^{-s}}{s^2 + 3s + 2} = \frac {e^{-s}}{(s+1)(s+2)}$     (11)

 부분분수 분해를 이용하여 (11)을 다시 정리해줍니다.

$Y = \frac {e^{-s}}{(s+1)(s+2)} = e^{-s}(\frac {1}{s+1} - \frac {1}{s+2})$     (12)

 (12)에서 구한 $Y$를 다시 역변환 해줍니다.

$y = L^{-1}(Y) = (e^{-(t-1)} - e^{-2(t-1)})u(t-1) = \begin {cases} 0 & (0 < t < 1) \\ e^{-(t-1)} - e^{-2(t-1)} & (t > 1) \end {cases}$

 

 sol) $y = \begin {cases} 0 & (0 < t < 1) \\ e^{-(t-1)} - e^{-2(t-1)} & (t > 1) \end {cases}$

 

 Dirac delta function에 대한 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅은 Convolution에 대하여 작성할 예정입니다.