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20. 라플라스 변환 형태의 미분과 적분 20.1. Differentiation of Transforms. Laplace transform 한 함수를 미분해 봅시다.

$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$ (1) (1)을 미분하면 다음과 같습니다.

$\frac{dF}{ds} = -\int_{0}^{\infty} e^{-st} tf(t) dt$ (2) (2)의 우변은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$-\int_{0}^{\infty} e^{-st}tf(t)dt = -\mathcal {L}(tf(t))$ (3) 따라서 결론을 정리하면 다음과 같습니다.

$F'(s) = -\mathcal{L}(tf(t))$ (4) 예제를 풀어봅시다. Ex) 1.

$\mathcal{L}(t\sin{\beta t})$ (4)에 주.. 2020. 5. 6.

19. 합성곱(Convolution) 19.1. Convolution. Laplace transform은 다음과 같은 식을 만족함을 이미 알고 있습니다.

$\mathcal {L}(f+g) = \mathcal {L}(f) + \mathcal {L}(g)$ (1) 하지만 (1)과는 다르게 곱의 변환은 일반적으로 만족하지 않습니다.

$\mathcal{L}(fg) \neq \mathcal {L}(f)\mathcal {L}(g)$ (2) (2)를 확인하기 위해 예를 들어 봅시다.

$f = e^t$ ,

$g = 1$ 이라 하고 (2)의 좌변과 우변의 식으로 각각 계산해 봅시다.

$\mathcal{L}(fg) = \mathcal {L}(e^t\cdot1) = \mathcal {L}(e^t) = \frac {1}{s-1}$ (3) $\mathcal{L}(f).. 2020. 5. 3.

18. 디랙 델타 함수 Dirac delta function이 어떤 함수인지를 알기 전에, 다음과 같은 함수를 정의합시다.

$f_k(t-a) = \begin {cases} \frac {1}{k} & (a \leq t \leq a+k) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$ (1) (1)의 함수

$f_k(t-a)$ 의 0부터

$\infty$ 까지의 정적분 값을

$l_k$ 라 하고 이 값을 구해보도록 하겠습니다.

$l_k = \int_{0}^{\infty} f_k(t-a)dt = \int_{a}^{a+k} \frac {1}{k} dt = 1$ (2) 공학에서 시간 구간

$a \leq t \leq a+k$ 에서 힘의 적분 값을 Impulse(충격량)라고 합니다. 즉 (2)에서

$l_k$ 는

$f_k(t-a)$ 라는 힘이 .. 2020. 5. 1.

17. 단위 계단 함수 Unit step function을 다음과 같은 함수로 정의합시다.

$u(t-a) = \begin {cases}0 & (t a)\end {cases}$ (1)

$t$ 가

$a$ 보다 크면 1이고, 작다면 0인 함수인 셈입니다. Unit step function의 Laplace transform을 해보겠습니다.

$L(u(t-a)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}u(t-a)dt = \int_{a}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 dt = - \frac {e^{-st}}{s}|_{t = a}^{\infty} = \frac {e^{-st}}{s}$

$(s > 0)$ (2)

$L(u(t-a)) = \frac {e^{-st}}{s}$ 임을 알 수 있네요.

$\frac {1}{s}$ 는 $L(.. 2020. 5. 1.

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