26. 행렬식

26.1. Determinant.

 $2 \times 2$, $3 \times 3$ matrix의 Determinant는 다음과 같이 정의합니다.

$D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\cdots(1)$

$D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} = a_{11} \begin {vmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} - a_{12}\begin {vmatrix} a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end {vmatrix} + a_{13}\begin {vmatrix} a_{12}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end {vmatrix}\cdots(2)$

 그렇다면 임의의 크기 $m \times n$인 matrix의 Determinant를 정의해 봅시다. Minor를 다음과 같은 Determinant로 생각합시다.

 $M_{jk} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1(k-1)}&a_{1(k+1)}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2(k-1)}&a_{2(k+1)}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{(j-1) 1}&a_{(j-1) 2}&\cdots&a_{(j-1)(k-1)}&a_{(j-1)(k+1)}&\cdots&a_{(j-1) n}\\a_{(j+1) 1}&a_{(j+1) 2}&\cdots&a_{(j+1)(k-1)}&a_{(j+1)(k+1)}&\cdots&a_{(j+1) n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n(k-1)}&a_{n(k+1)}&\cdots&a_{nn}\end {vmatrix}\cdots(3)$

 복잡하게 생겼지만 row j, column k를 제외한 Matrix의 Determinant를 Minor라고 생각하면 됩니다. 예를 들어 다음과 같은 Matrix의 Minor를 구해봅시다.

 $\mathbf {A} = \begin {bmatrix} 2&-1&1\\3&6&4\\-1&2&2 \end {bmatrix}\cdots(4)$

 (4)의 $\mathbf {A}$에서, $M_{22}$, $M_{13}$을 구해봅시다. $M_{22}$의 경우 row 2와 column 2를 없앤 matrix의 Determinant을 생각하면 됩니다.

 $M_{22} = \begin {vmatrix} 2&1\\-1&2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - 1\cdot-1 = 5\cdots(5)$

 같은 방법으로, row 1, column 3을 없앤 Matrix의 Determinant가 곧 $M_{13}$이 되겠습니다.

 $M_{13} = \begin{vmatrix} 3&6\\-1&2\end {vmatrix} = 2\cdot2 - 6\cdot-1 = 10\cdots(6)$

 이번에는 Cofactor를 다음과 같이 정의합시다.

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\cdots(7)$

 (5), (6)의 Cofactor를 구해봅시다.

 $C_{22} = (-1)^{(2+2)}M_{22} = 1\cdot5 =5\cdots(8)$

 $C_{13} = (-1)^{(1+3)}M_{13} = 1\cdot10 = 10\cdots(9)$

 이제 $m \times n$ Matrix의 Determinant 계산은 다음과 같습니다.

$\begin {matrix} D = \det {A} &=& \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \qquad(i=1,2,3,\cdots, n)\\ &=& a_{i1} M_{i1} - a_{i2} M_{i2} + \cdots + a_{in} M_{in}\end {matrix}\cdots(10)$

 $3 \times 3$ Matrix의 Determinant를 (10)을 통해 구해봅시다. $i =1$이라 합시다.

 $\begin {matrix} D = \det {A} &=& \begin {vmatrix} 2&-1&1\\3&6&4\\-1&2&2 \end {vmatrix} \\ &=& \sum_{j=1}^n a_{1j}C_{1j} = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\ &=& a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \\ &=& 2\begin{vmatrix} 6&4\\2&2 \end{vmatrix} - (-1)\begin {vmatrix} 3&4\\-1&2\end {vmatrix} + 1\begin {vmatrix} 3&6\\-1&2\end {vmatrix}\\&=&30\end {matrix}$

 

26.2. General Properties of Determinants.

 column vector를 $\mathbf {a_{i}}$라 하면, Matrix $\mathbf {A}$를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

  $\mathbf{A} = (\mathbf {a_1}\ \mathbf {a_2}\ \cdots\ \mathbf {a_j}\ \cdots\ \mathbf {a_n})\cdots(11)$

 Determinant에서 다음과 같은 법칙을 만족합니다.

 

 

 1) 임의의 Matrix의 Determinant 값과 그 Matrix를 Transpose 한 Determinant 값은 같습니다.

$\det {A} = \det {A^{\top}}$

 

 2) $\det{(\mathbf {a_1}\ \mathbf {a_2}\ \cdots\ p\mathbf {a_j}\ \cdots\ \mathbf {a_n})} = p\det {\mathbf {A}}$

    2)의 법칙에 따라, 간단하게 다음 식을 만족함을 알 수 있습니다.

$\det{(p\mathbf {A})} = p^n\det {\mathbf {A}}$

 

 3) $\det{(\mathbf {a_1}\ \mathbf {a_2}\ \cdots\ (\mathbf{a_j}+\mathbf{b_j})\ \cdots\ \mathbf{a_n})} = \det(\mathbf{a_1}\ \mathbf{a_2}\ \cdots\ \mathbf{a_j}\ \cdots\ \mathbf{a_n})+ \det(\mathbf{a_1}\ \mathbf{a_2}\ \cdots\ \mathbf {b_j}\ \cdots\ \mathbf {a_n})$

 

 4) 비례하는 row 또는 column이 존재할 경우 Determinant의 값은 0입니다.

 $\det(\mathbf {a_1}\ \mathbf {a_2}\ \cdots\ \mathbf {a_j}\ \cdots\ p\mathbf{a_j}\ \cdots\ \mathbf{a_n}) = 0$

 

 5) 임의의 두 row를 바꾼 Determinant의 값은 바꾸지 않았을 때의 Determinant 값에 -1을 곱하면 됩니다.

$\det(\mathbf{a_1}\ \mathbf {a_2}\ \cdots\ \mathbf {a_j}\ \cdots\ \mathbf{a_k}\ \cdots\ \mathbf{a_n}) = -\det(\mathbf{a_1}\ \mathbf{a_2}\ \cdots\ \mathbf{a_k}\ \cdots\ \mathbf{a_j}\ \cdots\ \mathbf {a_n})$

 

 6) 2)와 4)를 통해 알 수 있는 사실로, 임의의 row를 곱하여 다른 row에 더하여도 Determinant의 값은 변하지 않습니다.

 $\det(\cdots\ (\mathbf {a_j}+p\mathbf {a_k})\ \cdots\ \mathbf {a_k}\ \cdots) = \det(\cdots\ \mathbf{a_j}\ \cdots\ \mathbf{a_k}\ \cdots)$

 

26.3. Rank in Terms of Determinants.

 크기가 $m \times n$인 Matrix $\mathbf {A} = [a_{jk}]$에 대하여 다음을 만족합니다.

 

 1) $\mathbf {A}$의 Rank가 $r \geq 1$이면, $\mathbf{A}$에서 0이 아닌 Determinant 값을 가지는 크기가 $r\times r$인 Matrix가

     존재합니다.

 

 2) 크기가 $n\times n$인 square matrix $\mathbf{A}$의 Rank가 $n$이면, $\det {\mathbf {A}}\neq0$입니다.

 

 이번 포스팅은 여기까지 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Cramer's rule, Gauss-Jordan Elimination에 대하여 다룰 예정입니다.